L'étude des dynamiques collectives, observables chez de nombreuses espèces animales, a motivé dans les dernières décennies un champ de recherche actif et transdisciplinaire. De tels comportements sont souvent modélisés par de la matière active, c'est-à-dire  par des modèles dans lesquels chaque individu est caractérisé par une vitesse propre qui tend à s'ajuster selon celle de ses voisins.

De nombreux modèles de matière active sont liés à un modèle fondateur proposé en 1995 par Vicsek et al.. Ce dernier, ainsi que de nombreux modèles proches, présentent une transition de phase entre un comportement chaotique à haute température, et un comportement global et cohérent à faible température. De  nombreuses preuves numériques de telles transitions de phase ont été obtenues dans le cadre des dynamiques collectives. D'un point de vue mathématique, toutefois, ces systèmes actifs sont encore mal compris. Plusieurs résultats ont été obtenus récemment sous une approximation de champ moyen, mais il n'y a encore à ce jour que peu d'études mathématiques de modèles actifs faisant intervenir des interactions purement microscopiques.

Dans cet article, nous décrivons un système de particules actives sur réseau interagissant localement pour aligner leurs vitesses. Comme première étape afin d'atteindre une meilleure compréhension des modèles microscopiques de matière active, nous obtenons rigoureusement, à l'aide du formalisme des limites hydrodynamiques pour les gaz sur réseau, la limite macroscopique de ce système hors-équilibre.

Nous développons le travail réalisé par Quastel [35], en apportant une preuve plus détaillée et en incorporant plusieurs généralisations posant de nombreuses difficultés techniques et phénoménologiques.