Une méthode de formes normales de Birkhoff quasi-linéaire. Application à l'équation quasi-linéaire de Klein-Gordon sur $\mathbb {S}^1$
A quasi-linear Birkhoff normal forms method. Application to the quasi-linear Klein-Gordon equation on $\mathbb {S}^1$
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- Année : 2012
- Tome : 341
- Format : Électronique, Papier
- Langue de l'ouvrage :
Anglais - Class. Math. : 35L70, 35B45, 37K05, 35S50
- Nb. de pages : v+115
- ISBN : 978-2-85629-335-5
- ISSN : 0303-1179
- DOI : 10.24033/ast.909
Considérons une équation de Klein-Gordon non-linéaire sur le cercle unité, à données régulières de taille $\epsilon \to 0$. Appelons solution presque globale toute solution $u$, qui se prolonge pour tout $\kappa \in \mathbb {N} $ sur un intervalle de temps $]-c_\kappa \epsilon ^{-\kappa },c_\kappa \epsilon ^{-\kappa }[$, pour un certain $c_\kappa >0$ et $0<\epsilon <\epsilon _\kappa $. Il est connu que de telles solutions existent, et restent uniformément bornées dans des espaces de Sobolev d'ordre élevé, lorsque la non-linéarité de l'équation est un polynôme en $u$ nul à l'ordre 2 à l'origine, et lorsque le paramètre de masse de l'équation reste en dehors d'un sous-ensemble de mesure nulle de $\mathbb {R} _+^*$. Le but de cet article est d'étendre ce résultat à des non-linéarités quasi-linéaires Hamiltoniennes générales. Il s'agit en effet des seules non-linéarités Hamiltoniennes qui puissent dépendre non seulement de $u$, mais aussi de sa dérivée en espace. Nous devons, pour obtenir le théorème principal, développer une méthode de formes normales de Birkhoff pour des équations quasi-linéaires.