Soit $\Gamma$ le groupe fondamental d'une surface compacte $S$ de caractéristique d'Euler strictement négative et soit $G$ le groupe $\mathrm{PSL}(2,\mathbf{R})$ des isométries du plan hyperbolique. Goldman a observé que l'espace de Teichmüller, l'espace des classes de structures complexes marquées sur $S$, s'identifie à une composante connexe de la variété des caractères $\mathrm{Hom}(\Gamma,G)/G$, qui est sélectionnée à l'aide d'une classe caratéristique. Grâce aux travaux de  Labourie, Burger-Iozzi-Wienhard, Fock-Goncharov, Guichard-Wienhard, nous savons maintenant que, d'une manière surprenante, ceci est un phénomène bien plus général : il existe beaucoup de groupes de Lie $G$ semisimples et de rang supérieur tels que les variétés des caractères associées admettent des composantes connexes constituées uniquement de représentations fidèles et d'image discrète, les sus-nommées théories de Teichmüller supérieures.

La richesse de ces théories est en partie due au fait que, tout comme pour l'espace de Teichmüller, des techniques totalement différentes peuvent s'appliquer à leurs études : cohomologie bornée, fibrés de Higgs, positivité, applications harmoniques, structures d'incidence, courants géodésiques, géométrie algébrique réelle... Dans mon exposé, je ferai un survol d'un certain nombre de résultats récents dans le sujet (suivant Labourie, Burger-Iozzi-Wienhard, Fock-Goncharov, Guichard-Wienhard, Bonahon-Dreyer, Li, Zhang, Martone-Zhang, Baraglia, Alessandrini-Li, Collier-Tholozan-Toulisse.)