Nous réfutons une forme forte du problème inverse de Galois régulier : il existe des groupes finis $G$ qui n'ont pas de réalisation régulière $F/\mathbb Q (T)$ induisant toutes les extensions galoisiennes $L/\mathbb Q (U)$ de groupe $G$ par spécialisation de $T$ en $f(U) \hskip -1mm \in \hskip -1mm \mathbb Q (U)$. Une propriété de relèvement bien plus faible est même infirmée pour ces groupes : deux réalisations $L/\mathbb Q (U)$ existent qui ne peuvent être induites par des réalisations ayant le même type de ramification. Nos exemples de tels groupes $G$ incluent les groupes symétriques $S_n$, $n\geq 6$, une infinité de ${\rm PSL}_2(\mathbb F _p)$, le Monstre. Deux variantes de la question, où $\mathbb Q (U)$ est remplacé par $\mathbb C (U)$ et $\mathbb Q $, ont une réponse similaire, la seconde sous une « hypothèse de travail » liée à un problème de Fried-Schinzel. Nous introduisons deux nouveaux outils : un théorème de comparaison entre les invariants d'une extension $F/\mathbb C (T)$ et ceux de celle obtenue en spécialisant $T$ en $f(U) \hskip -1mm \in \hskip -1mm \mathbb C (U)$ ; et, étant données deux extensions régulières galoisiennes de $k(T)$, un ensemble fini de $k(U)$-courbes qui disent si ces extensions ont une spécialisation commune $E/k$.