Soit $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ un domaine dont la frontière peut contenir des morceaux de dimensions différentes. Par exemple, $\Omega$ peut être une boule de $\mathbb{R}^3$, moins l'un de ses diamètres $D$, ou un domaine en dents de scies, avec une frontière composée de morceaux de courbes et de morceaux de sphères. Ou encore, un domaine avec une frontière (partiellement) fractale. Avec des hypothèses géométriques convenables, essentiellement l'existence de mesures doublantes sur $\Omega$ et $\partial \Omega$ de tailles appropriées, on construit une classe d'opérateurs elliptiques d'ordre $2$ dégénérés de manière adaptée à la géométrie, et on prouve les estimations clé associées à ces opérateurs $L$. Ceci inclue des inégalités de Poincaré et de Harnack, le principe du maximum, et la continuité Höldérienne à la frontière des solutions. On introduit les espaces de Hilbert naturellement associés à la géométrie, on construit les opérateurs de trace et d'extension associés, on les utilise pour définir les solutions faibles de $Lu=0$, puis on prouve les inégalités de De Giorgi–Nash–Moser dans $\Omega$ et à la frontiére, on résout le probléme de Dirichlet, qu'on utilise pour construire une mesure elliptique $\omega_L$ associée à $L$. On construit les fonctions de Green et on les utilise pour obtenir le principe de comparaison et la propriété doublante pour $\omega_L$.

Notre théorie étant centrée sur les mesure, en pas seulement sur la géometrie de $\Omega$, les résultats sont nouveaux même  dans le cas classique du demi-plan $\mathbb{R}^2_+$, mais où la frontière $\partial \mathbb{R}^2_+= \mathbb{R}$ est munie d'une mesure doublante $\mu$ singulière par rapport à la mesure de Lebesgue sur $\mathbb{R}$. Finalement, ce papier donne une généralisation du célèbre opérateur d'extension de  Caffarelli–Sylvestre, depuis son cadre classique de $\mathbb{R}^{n+1}_+$ vers des ouverts plus généraux, et donc une extension du concept de Laplacien fractionnaire à des frontières Ahlfors regulières et au delà.