Pour $p\in (1,\infty )$ notons ${\cal P} (\mathbb R ^3)$ l'espace métrique des mesures de probabilité $p$-intégrables sur $\mathbb R ^3$, muni de la $p$-métrique de Wasserstein $\mathsf W _p$. Nous montrons que pour tout $\varepsilon >0$, tout $\theta \in (0,1/p]$ et tout espace métrique fini $(X,d_X)$, l'espace métrique $(X,d_{X}^{\theta })$ se plonge dans ${\cal P} (\mathbb R ^3)$ avec distortion au plus $1+\varepsilon $. Nous montrons que cela est optimal quand $p\in (1,2]$ au sens où l'exposant $1/p$ ne peut pas être augmenté. En fait pour $n\in \mathbb N $ assez grand il existe un espace métrique à $n$ points $(X_n,d_n)$ tel que pour tout $\alpha \in (1/p,1]$ tout plongement de l'espace métrique $(X_n,d_n^\alpha )$ dans ${\cal P} (\mathbb R ^3)$ a une distortion au moins égale à un multiple par une constante de $(\log n)^{\alpha -1/p}$. Ces résultats impliquent qu'il existe un espace d'Alexandrov de courbure positive, à savoir ${\cal P}_{2}(\mathbb R ^3)$, vis- à-vis duquel il n'existe pas de suite de graphes expanseurs de degré borné. Il en résulte aussi que ${\cal P}_{2}(\mathbb R ^3)$ n'admet pas de plongement uniforme, grossier ou quasisymétrique dans un espace de Banach de type non trivial. Nous discutons le lien avec plusieurs questions ouvertes depuis longtemps en géométrie des espaces métriques, dont la caractérisation des sous-ensembles des espaces d'Alexandrov, l'existence d'expandeurs, le problème d'universalité pour ${\cal P}_{\! 2}(\mathbb R ^k)$, et le problème de dichotomie pour le cotype métrique.