Les conjectures de Gan-Gross-Prasad ont deux aspects: localement elles décrivent de façon explicite certaines lois de branchements entre représentations de groupes de Lie réels ou $p$-adiques, globalement elles portent sur certaines périodes de formes automorphes et en particulier sur la question de leur (non-)annulation. Ces prédictions, qui font intervenir des invariants arithmétiques (facteurs epsilon locaux et valeurs de fonctions $L$ automorphes en leurs centres de symétrie respectivement), ont été récemment démontrées dans un nombre significatif de cas par des méthodes variées (formules des traces relatives locales et globales, correspondance thêta, ...). Après avoir formulé précisément ces conjectures ainsi qu'un raffinement dû à Ichino-Ikeda, on donnera dans cet exposé un panorama des développements récents sur le sujet.