Soient $\Gamma$ un groupe dénombrable agissant sur un espace métrique géodesique hyperbolique $X$ et $\mu$ une mesure de probabilité sur $\Gamma$ dont le support engendre un semi-groupe non élémentaire. Sous l'hypothèse de moment exponentiel sur $\mu$, on établit des résultats de grandes déviations pour le déplacement et la longueur de translation d'une marche aléatoire suivant la loi $\mu$. Nous déduisons de nos résultats un cas particulier d'une conjecture concernant les grandes déviations des rayons spectraux de produits de matrices aléatoires.